МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТРЕТЬОГО ТА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКІВ ЗІ ЗМІННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ

Анотація

Математична модель дає змогу вивчати явище в цілому, прогнозувати його розвиток, робити кількісні оцінки змін, що відбуваються в системі з плином часу. Існує велика кількість аналітичних і чисельних методів розв’язання звичайних диференціальних рівнянь та їх систем, за допомогою яких можна імітувати динаміку коливальних процесів. Кількість фізичних задач, що вирішуються за допомогою диференціальних рівнянь третього або четвертого порядку, постійно зростає. Такі проблеми виникають там, де існують нерівні переходи від однієї фізичної характеристики до іншої, включаючи питання квантової механіки, астрофізики і теорії еластичності. На жаль, для багатьох практично важливих питань проблеми, що описуються диференціальними рівняннями, дуже складні, і їх точне вирішення важке або неможливе. Оскільки ці рішення описують ті чи інші природні процеси, для дослідника важлива інформація про них. Тому отримання точного рішення в аналітичній формі є важливою і актуальною проблемою.Побудовано новий метод розв’язання лінійних однорідних диференціальних рівнянь третього і четвертого порядків зі змінними коефіцієнтами, що дозволило отримати аналітичний розв’язок у всьому полі визначення рівнянь. Запропонований метод зменшує порядок диференціального рівняння і є узагальненням формули Абеля для випадку лінійних диференціальних рівнянь третього і четвертого порядків зі змінними коефіцієнтами. Розроблений метод базується на використанні властивостей детермінанта Вронського. У статті наведені умови, за якими детермінант може бути виражений через елементарні функції. Досліджено та обґрунтовано умови, що забезпечують можливість використання запропонованого способу. Знайдено формулу повторення для отримання часткового рішення, що спрощує процес розв’язання цих рівнянь.